0 引言
自3D打印技术问世之后，凭借其复杂性低、成本低廉、软件开源、易于推广等特点在国内外得到了迅速的发展[1]。STL(Stereo Lithography)文件是由美国3D System公司于1987年制定的接口协议，由于其格式简单、读写便利，成为3D打印过程中最常用的数据存储格式[2]。STL文件由离散的三角面片组成，存放了模型的点云的位置信息和三角面片的法向量，但其丢失了面与面之间的拓扑关系，同时，单个点被多次记录，造成了大量的数据冗余[3]。在快速成型过程中，待支撑位置查询、模型分层切片等操作均需要三角面间的拓扑关系[4]，因此，建立合理的数据结构剔除冗余信息，采用高效的算法建立拓扑关系就显得尤为重要。
针对STL文件读写的局限，国内外专家提出多种解决方案。侯聪聪等[5]提出基于链表的数据存储和拓扑结构，建立点、边、面表进行数据存储，虽剔除了STL文件中的重复点，但每次建立拓扑关系时，均对整个边表进行遍历，算法性能较低；王增波[6]采用哈希表作为基础结构，将有效数据仅保存一次，提升了数据的添加和查找速度，几乎可以在常数时间内快速完成，但建立拓扑关系时，依旧是对已存数据进行遍历，不仅效率较低，还存在部分数据查找遗漏的现象；王彦云等[7]优化了哈希表的冲突解决方案，采用二分查找的方法对相同key值的链表进行查找，提升了查表速度，但拓扑算法效率依旧较低；钱乘等[8]也采用哈希表进行数据存储，存储数据的同时对每个点记录其所属三角面片，全部存储完毕后，再对所有面片进行遍历，建立拓扑关系，不存在遗漏，但读取完成后，需要再次遍历面表寻找邻接面；张应中等[9]利用半边结构进行拓扑关系建立，巧妙地将点与面的信息存入边，利用三角面中顶点的存放顺序来保存边的信息，精简了存储结构，但拓扑算法复杂，并且需要在读入全部顶点的情况下建立拓扑关系。
基于以上算法的研究，本文提出一种基于哈希表的、利用半边结构的数据存储和三角面拓扑算法，在读取数据过程中，一方面剔除冗余数据，一方面快速建立面的拓扑关系，每读入一个三角面信息，进行数据存放的同时，在点表中维护一个未添加邻接面的半边集合。当数据读取完成后，建立无重复数据的点表和面表，完善三角面间的拓扑关系。
1 STL文件
STL格式文件分为ASCII码和二进制两种，其中，二进制格式的文件数据结构如图1所示，与ASCII相比存储更加紧凑，占用空间较小，会在文件起始位置记录三角面片总数Num，在后续建立哈希表时也能依据此选择更加合适的表长。
由欧拉公式可知，存储正确的三角网格文件，三角面的数量约为顶点的2倍[10]，而在STL文件中，每存储一次面片信息，都会重复存储3个点的位置坐标，使得存的储顶点数量是面片数量的3倍[11]。由此可得，每个顶点在STL文件中平均记录了6次，所以在进行拓扑关系建立前，需要先对冗余信息进行辨别和剔除，使每个顶点仅存储一次，减少数据存储量，提升算法效率。
2 采用半边结构的拓扑数据结构
2.1 半边的二元组表示
本文采用文献[9]提出的精简半边结构作为基础，使用三角面的标志和半边在面中的序号来表示半边。如图2所示，顶点A、B、C、A按照逆时针顺序连线构成面M1；顶点D、A、C、D连线构成面M2，半边L2可以表示为[M1，2]，即M1面中的第2条半边，半边L6可以表示为[M2，3]，即M2面中的第3条半边。
当两个半边顶点相同且边的起点与终点相互调换时，两半边互为反向半边，这时，两半边所属三角面互为邻接面。如图2所示，L3和L5为反向半边，M1与M2为邻接三角面。使用二元法表示半边可以精简高效地建立点、边、面的关系，当两半边为反向半边时，可立即得到该半边所在面，从而建立面的拓扑关系。
2.2 拓扑数据结构
基于STL文件的特点和半边二元组的表示，综合考虑空间和效率需求，本文提出如下的基于半边结构的三角面拓扑数据结构。如图3所示，STL文件的几何信息通过顶点和三角面描述，半边信息定义在顶点类中，使用键值对存入Map容器中；临接面信息通过在三角面类中定义一个包含3个元素的数组对其进行存储。
(1)顶点类(Class Vertex)。顶点数据包括顶点位置坐标和一个用来存储半边信息的Map容器。该Map容器以红黑树为底层，存放以该顶点为起点的半边，半边信息通过将上文中的二元组转化为键值对进行存储。使用红黑树作为底层数据结构，可以避免使用连续内存，并将以该点为起点的半边信息全部保存，其搜索时间复杂度为O(lgn)，在增加删除半边时，不会对顶点存放的Hash表产生额外影响，同时仍具有较快的速度。
(2)三角面类(Class Mesh)。面数据包含3个指向顶点的指针, 采用一维数组存放，指针存储顺序同时隐性包含了半边顺序，即：顶点V1与V2形成序号为1的半边，顶点V2与V3形成序号为2的半边，顶点V3与V1形成序号为3的半边；此外，将法向量坐标存入normal_vector数组，面片的3个临接面存入border_meshs数组。
2.3 点表和面表
存储顶点数据时，需要快速判断该顶点是否已经保存，鉴于哈希表查找时较低的时间复杂度，采用哈希表对顶点数据进行保存。本文哈希函数如下：
其中，x、y、z为顶点坐标的3个分量值，m为哈希表的长度，h(k)为计算出的哈希地址。由于STL文件数据精度较高，使得各点的值较为接近，因此对k进行一定程度放大。STL文件满足欧拉关系，即三角网格模型的顶点总数是其总三角面片数的1/2，所以m取值为与Num/2最接近的素数，以减少散列地址的冲突。存储顶点的哈希表如图4所示。
因为面数据不存在重复，所以直接使用面对象数组作为面表，一方面可以在O(1)的时间复杂度内找到对应面片，修改面片信息；另一方面，将数组的下标加1，便可作为面片的标志，可以快速定位半边位置。
3 STL文件拓扑信息重建流程
3.1 冗余信息剔除
当开始进行STL文件读取后，会依次读入所有三角面片的顶点和法向量信息，法向量信息待3个点均读入后存入面对象，将顶点的3个坐标带入式(1)、式(2)，计算得到哈希地址，即该点存入点表的位置，而后分为以下两种情况：
(1)若该地址内没有数据，说明该点首次出现，依据该点所在的三角面片的序号和点在面中的位置构建半边，并将其以键值对的形式存入点的half-edges，便完成新点添加。例如，依次读入第4个面片的3个顶点V1、V2、V3，由于V2是第2个读入的点，则构建二元组为[4，2]，即第4个面片中的第2个半边，半边方向由V2指向V3。
(2)若该地址存在数据，由于不相同的两点也可能计算出相同的哈希地址，因此需要对比新添加的顶点坐标和已存顶点的坐标是否相同。若相同，则说明该点为重复的旧点，不需要进行添加，进行下一个点的处理；若不同，则该点为新点，同样构建并添加半边信息后，链式添加点解决冲突。例如：读入新点V1，计算得到哈希地址为2，但发现该地址已经存在顶点数据且与V1不同，则需要在该地址处添加指向新点的指针，形成链表来解决哈希地址冲突。
3.2 添加三角面并生成拓扑信息
依次读取并存储3个顶点信息后，依据读取的三角面的序号，更新面表内所对应面的顶点和法向量信息，即vertex数组和 normal_vector数组。第一个面片读取完成后，点表中的半边信息如图5所示，点A、B、C所存半边信息依次为[1，1]、[1，2]、[1，3]，即AB、BC、CA半边，此时border_meshs数组内暂无邻接面信息。
后续继续添加面片信息时存在多种情况，以下分别讨论：
(1)新面片的3个顶点与现存顶点均不相同。即3顶点均为第一次读取，构建面数据并将其加入面表后，半边信息如图6所示，其中(A，B，C)为已存面，(D，E，F)为新添加面,所有点目前仅保存一个半边，所有面不存在邻接面。
(2)新面片的3个顶点与现存顶点有一个相同，构建面数据并将其加入面表后，半边信息如图7(a)所示，其中(A，B，C)为已存面，(D，C，E)为新添加面，由于点C不是首次读取，因此点中已经存有指向点A的半边，需将C指向点E的半边也存入其中，即构建[2，2]半边存入点C的half-edges，此时点C中存有两个半边信息，添加后的半边信息如图7(b)所示。此时点C中存有两个半边信息，两个已存面均无邻接面信息。
(3)新面片的3个顶点与现存顶点有两个相同，此时又可分为两种情况，新添加面均为(D，A，C)。①情况1如图8(a)所示，A、C两点为已存点，由于C点已存半边CE与AC半边不是反向半边，因此两面不是邻接面，构建AC、CD两半边分别存入点A、C中即可，此时A、C、E 3点均存有两个半边信息；②情况2如图8(b)所示，A、C两点为已存点，由于C点包含指向A点的半边CA，与新添加面中的AC半边互为反向半边，说明两三角面互为邻接面，向面(A，B，C)的border_meshs数组中添加序号2，向面(D，A，C)的border_meshs数组中添加半边CA所在面序号1，而后删除点C中的半边CA并添加半边CD，即half-edges删除[1，3]，添加[2，3]，便完成了新面的添加和拓扑关系的建立，此时两面均存在一个邻接面，所有点均包含一个半边。
(4)新面片的3个顶点与现存顶点均相同，此时又可以又可分为4种情况，新加入的面均为(D，A，C)。①情况1如图9(a)所示，不存在新的邻接边，将D、A、C 3点均添加新的半边即可；②情况2如图9(b)所示，有一条新的邻接边，添加DA、CD半边，删除CA半边，并在两面中添加邻接面即可；③情况3如图9(c)所示，有两条新的邻接边，添加DA半边，将CA、DC半边删除，并完善邻接面信息；④情况4如图9(d)所示，3条边均为新的邻接边，将AD、DC、CA半边删除，完善面的邻接信息后即完成面的添加和邻接拓扑信息构建。
综上，面片的添加与拓补过程与重合点数量相关需分情况讨论。若不存在旧点，则默认构建即可；若存在一个，给该点添加新的半边；若存在两个以上，3点按读入顺序，每两点组成一个新半边，依次判断3个半边的半边，即是否存在新的邻接面。若不存在，则为半边的起点添加新半边；若存在，则在面表内添加新的邻接面，并删除起点的原有半边。注意，若3点中仅有两点为已存点，则需要为删除半边的点添加新的、基于新添加面片的半边(如图8(b)所示)。整个拓扑流程如图10所示。
4 测试实例及性能分析
将上述数据结构和快速拓扑算法通过OpenGL和Qt Creator编程实现，同时，使用文献[8]中的拓扑算法与本文的算法对5个STL模型进行拓扑重建实验，实验环境为Windows 10操作系统，处理器主频为2.6 GHz，4.0 GB内存，获得同一个STL模型在两种算法下的拓扑关系构建时间。表1为两种算法运行时间对比。
由于本文算法在进行STL文件存储的同时便完成了面片拓扑关系的建立，相比于文献[8]的算法，不需要存储数据后再对面表遍历并进行大量比对寻找邻接面，节省了大量的时间，从测试结果中也可看出本算法具有更高的效率。
5 结论
本文提出半边结构的快速拓扑算法，将半边信息以键值对的形式存入点中，每读入一个面片，存储数据的同时，以较快的效率更新未添加邻接面的半边集合和面表中的邻接面数组，STL模型读取完毕后，面的拓扑信息也同时完善，有效缩短了面片拓扑关系建立的时间，为模型后续的支撑添加和切片处理带来了极大的便利。
参考文献
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作者信息:
武小超，陈 鸿
(中北大学 仪器与电子学院，山西 太原030051)
